Mô hình Black-Scholes là một trong những mô hình toán học được sử dụng phổ biến nhất để định giá quyền chọn kiểu châu Âu và chứng quyền có bảo đảm. Việc hiểu và áp dụng mô hình này giúp nhà đầu tư đánh giá liệu chứng quyền có đang được định giá hợp lý hay không, từ đó đưa ra quyết định đầu tư chính xác hơn.
Mô hình Black-Scholes
Mô hình Black-Scholes, được phát triển bởi Fischer Black, Myron Scholes và Robert Merton vào năm 1973, cung cấp một khung lý thuyết để định giá quyền chọn kiểu châu Âu và chứng quyền có bảo đảm. Mô hình này đã tạo ra bước ngoặt trong định giá sản phẩm phái sinh và giúp Scholes cùng Merton giành Giải Nobel Kinh tế năm 1997. Mô hình đưa ra một công thức toán học nhằm ước tính giá trị lý thuyết của chứng quyền mua dựa trên năm biến đầu vào chính.
Công thức Black-Scholes cho chứng quyền mua
C = S₀ × N(d₁) − X × e⁻ʳᵀ × N(d₂)
C
Giá lý thuyết của chứng quyền mua
Đây là giá trị cần tính
S₀
Giá thị trường hiện tại của cổ phiếu/tài sản cơ sở
Giá tại thời điểm định giá
X
Giá thực hiện (giá quyền)
Mức giá mà chứng quyền có thể được thực hiện
T
Thời gian còn lại đến đáo hạn (tính theo năm)
Quy đổi ngày sang năm: số ngày ÷ 365
r
Lãi suất phi rủi ro
Thường là lợi suất trái phiếu Chính phủ (dạng số thập phân, ví dụ 0.05 tương ứng 5%)
σ (sigma)
Độ biến động của tài sản cơ sở (năm)
Độ lệch chuẩn của lợi suất, dạng thập phân (ví dụ 0.25 tương ứng 25%)
N(d₁) và N(d₂)
Hàm phân phối tích lũy của phân phối chuẩn tắc
Các giá trị này đại diện cho xác suất và được tính thông qua d₁ và d₂ (xem công thức bên dưới)
e⁻ʳᵀ
Hệ số chiết khấu về giá trị hiện tại
e ≈ 2.71828; Dùng để chiết khấu giá thực hiện về hiện tại
Hiểu các thành phần trong công thức
Công thức Black-Scholes có thể được tách thành hai phần chính:
S₀ × N(d₁)
Thành phần này thể hiện giá trị kỳ vọng của tài sản cơ sở tại thời điểm đáo hạn, có điều chỉnh theo xác suất chứng quyền sẽ ở trạng thái có lãi (in-the-money).
- • N(d₁) là delta đã điều chỉnh theo xác suất
- • Giá trị cao hơn khi chứng quyền có khả năng cao rơi vào trạng thái có lãi
- • Nằm trong khoảng từ 0 đến 1
X × e⁻ʳᵀ × N(d₂)
Thành phần này thể hiện giá trị hiện tại của giá thực hiện, có điều chỉnh theo xác suất thực hiện chứng quyền.
- • e⁻ʳᵀ chiết khấu giá thực hiện về giá trị hiện tại
- • N(d₂) là xác suất thực hiện
- • Chi phí kỳ vọng phải trả nếu thực hiện
Chênh lệch giữa hai thành phần này cho ta giá chứng quyền theo lý thuyết. Về bản chất, công thức đang tính: Lợi ích kỳ vọng từ việc nắm giữ tài sản trừ đi chi phí kỳ vọng khi thực hiện chứng quyền.
Tính d₁ và d₂
Trước khi tính giá chứng quyền, chúng ta cần tính hai tham số trung gian: d₁ và d₂. Đây là các tham số quan trọng vì chúng được đưa vào các hàm phân phối chuẩn tích lũy N(d₁) và N(d₂), đại diện cho các xác suất dùng trong công thức chính.
Công thức d₁
d₁ = [ln(S₀/X) + (r + σ²/2) × T] / (σ × √T)
Phân rã các thành phần:
- • ln(S₀/X): Log tự nhiên của tỷ lệ moneyness (mức “trong/ngoài tiền”)
- • (r + σ²/2) × T: Lãi suất phi rủi ro cộng nửa phương sai, nhân với thời gian
- • σ × √T: Độ biến động điều chỉnh theo thời gian (độ lệch chuẩn lợi suất trong khoảng thời gian T)
Ý nghĩa đo lường:
d₁ đo lường số độ lệch chuẩn mà giá cổ phiếu kỳ vọng cách giá thực hiện, sau khi điều chỉnh theo lãi suất phi rủi ro và độ biến động. Nó liên quan trực tiếp đến delta của chứng quyền (độ nhạy theo giá).
Công thức d₂
d₂ = d₁ − σ × √T
d₂ đơn giản là d₁ trừ đi phần thời gian đã điều chỉnh theo độ biến động. d₂ luôn nhỏ hơn d₁.
Ý nghĩa đại diện:
d₂ đại diện cho xác suất chứng quyền kết thúc ở trạng thái có lãi (in-the-money). N(d₂) cho ra xác suất thực tế (từ 0 đến 1).
Điểm cần lưu ý:
Chênh lệch (d₁ - d₂) = σ × √T thể hiện “giá trị thời gian” sau khi điều chỉnh theo độ biến động. Thời gian càng dài hoặc biến động càng cao thì khoảng chênh này càng lớn.
Hiểu N(d₁) và N(d₂)
N(d₁) và N(d₂) là các giá trị lấy từ hàm phân phối chuẩn tắc tích lũy. Bạn có thể tra bằng bảng thống kê hoặc tính bằng hàm NORM.S.DIST trong Excel hay các công cụ tương tự. Dưới đây là ý nghĩa của chúng:
N(d₁) - Hệ số Delta
- • Khoảng giá trị: 0 đến 1 (0% đến 100%)
- • Ý nghĩa: Độ nhạy với biến động giá của tài sản cơ sở, đã điều chỉnh theo xác suất
- • Ứng dụng thực tiễn: Xấp xỉ bằng delta của chứng quyền (độ nhạy theo giá)
- • Ví dụ: Nếu N(d₁) = 0.60, giá chứng quyền biến động khoảng 60% so với mức biến động của tài sản cơ sở
N(d₂) - Xác suất thực hiện
- • Khoảng giá trị: 0 đến 1 (0% đến 100%)
- • Ý nghĩa: Xác suất chứng quyền sẽ ở trạng thái có lãi tại đáo hạn
- • Ứng dụng thực tiễn: Ước tính khả năng thực hiện có lợi nhuận
- • Ví dụ: Nếu N(d₂) = 0.40, có khoảng 40% khả năng chứng quyền sẽ được thực hiện
Thử dùng công cụ tính giá trị lý thuyết
Thay vì tự tính thủ công các giá trị theo Black-Scholes, hãy dùng Công cụ tính giá trị lý thuyết của chúng tôi để đánh giá nhanh giá chứng quyền. Bạn chỉ cần nhập giá tài sản cơ sở, giá thực hiện, thời gian đến đáo hạn, độ biến động và lãi suất phi rủi ro, hệ thống sẽ trả về kết quả định giá lý thuyết ngay lập tức.
Mở công cụ tínhLưu ý quan trọng
Trên thực tế, bạn không cần tự tính thủ công các giá trị này. Hãy sử dụng công cụ tính giá trị lý thuyết của chúng tôi, các công thức Excel (NORM.S.DIST) hoặc các máy tính trực tuyến. Điều quan trọng là hiểu các giá trị này đại diện cho điều gì để bạn diễn giải kết quả một cách chính xác.
Biến động (σ) - Tham số then chốt
σ (sigma): Độ biến động năm hóa của cổ phiếu/tài sản cơ sở, được biểu diễn dưới dạng số thập phân (ví dụ 0.25 tương ứng 25%).
Cách tính biến động lịch sử (Historical Volatility):
- Thu thập giá đóng cửa hằng ngày của tài sản cơ sở trong một giai đoạn (thường là 30, 60 hoặc 252 phiên giao dịch)
- Tính lợi suất hằng ngày: ln(Giá_hôm_nay / Giá_hôm_qua)
- Tính độ lệch chuẩn của chuỗi lợi suất hằng ngày này
- Năm hóa bằng cách nhân với √252 (số phiên giao dịch trong năm): σ_annual = σ_daily × √252
Vì sao biến động quan trọng:
- • Biến động cao → Xác suất xảy ra dao động giá lớn cao hơn → Phí/giá chứng quyền cao hơn
- • Biến động là biến đầu vào duy nhất không quan sát trực tiếp được — cần ước tính
- • Có thể dùng biến động lịch sử hoặc biến động hàm ý (implied volatility) từ giá chứng quyền trên thị trường
- • Biến động cổ phiếu thường dao động từ 15% (ổn định) đến 40%+ (biến động mạnh)
Các yếu tố ảnh hưởng đến giá chứng quyền có bảo đảm
Hiểu cách các yếu tố khác nhau tác động đến việc định giá chứng quyền là nền tảng để đưa ra quyết định đầu tư hiệu quả. Mô hình Black-Scholes xác định năm biến số chính quyết định giá trị chứng quyền.
1. Giá hiện tại của tài sản cơ sở
Giá hiện tại của tài sản cơ sở ảnh hưởng trực tiếp đến giá trị nội tại của chứng quyền và do đó ảnh hưởng đến giá chứng quyền.
Đối với chứng quyền mua
Khi giá tài sản cơ sở tăng, giá chứng quyền mua cũng tăng. Mối quan hệ này là cùng chiều và trực tiếp.
- • Giá tài sản cơ sở cao hơn → Giá trị chứng quyền mua cao hơn
- • Giá tài sản cơ sở thấp hơn → Giá trị chứng quyền mua thấp hơn
2. Giá thực hiện
Giá thực hiện (X) là mức giá được ấn định trước mà tại đó chứng quyền có thể được thực hiện. Mối quan hệ giữa giá tài sản cơ sở hiện tại và giá thực hiện sẽ quyết định chứng quyền đang ở trạng thái có lãi (in-the-money), ngang giá (at-the-money) hay ngoài tiền (out-of-the-money).
Chứng quyền mua đang có lãi (In-the-Money)
S₀ > X
Có giá trị nội tại = S₀ - X
Chứng quyền mua ngang giá (At-the-Money)
S₀ ≈ X
Chỉ có giá trị thời gian, nhạy nhất với biến động
Chứng quyền mua ngoài tiền(Out-of-the-Money)
S₀ < X
Chỉ có giá trị thời gian, tiềm năng đòn bẩy cao nhất
3. Thời gian đến đáo hạn
Thời gian đến đáo hạn (T) được tính theo năm và phản ánh quãng thời gian còn lại của chứng quyền. Thời gian càng dài thì tài sản cơ sở càng có nhiều cơ hội biến động theo hướng có lợi.
Hao mòn thời gian (Theta)
Khi ngày đáo hạn đến gần, giá chứng quyền giảm do hao mòn thời gian. Hiệu ứng này tăng nhanh khi càng sát đáo hạn.
- • Thời gian đến đáo hạn dài hơn → Phí/giá chứng quyền cao hơn
- • Thời gian đến đáo hạn ngắn hơn → Phí/giá chứng quyền thấp hơn
- • Hao mòn thời gian rõ rệt hơn đối với chứng quyền ngoài tiền
4. Biến động (σ)
Biến động đo lường mức độ dao động của giá tài sản cơ sở theo thời gian. Đây là yếu tố then chốt trong định giá quyền chọn vì nó phản ánh mức độ bất định của biến động giá trong tương lai.
Tác động của biến động
Biến động càng cao thì giá chứng quyền càng tăng vì xác suất xảy ra các biến động giá lớn (giúp chứng quyền có lãi) cao hơn.
- • Biến động cao → Phí/giá chứng quyền cao hơn
- • Biến động thấp → Phí/giá chứng quyền thấp hơn
- • Biến động thường được ước tính từ dữ liệu giá lịch sử hoặc suy ra từ giá thị trường hiện tại (implied volatility)
5. Lãi suất phi rủi ro
Lãi suất phi rủi ro (r) phản ánh mức sinh lời của một khoản đầu tư không rủi ro, thường là trái phiếu Chính phủ. Nó ảnh hưởng đến giá chứng quyền thông qua tác động lên giá trị hiện tại của giá thực hiện.
Tác động của lãi suất
Với chứng quyền mua, lãi suất cao hơn làm tăng giá chứng quyền vì giá trị hiện tại của giá thực hiện giảm, khiến “chi phí vốn” cho việc mua tài sản cơ sở trong tương lai trở nên rẻ hơn.
- • Lãi suất cao hơn → Giá chứng quyền mua cao hơn
- • Lãi suất thấp hơn → Giá chứng quyền mua thấp hơn
- • Mức tác động thường nhỏ hơn so với các yếu tố khác như biến động và thời gian đến đáo hạn
Ví dụ tính toán từng bước
Hãy cùng đi qua một ví dụ thực tế để thấy mô hình Black-Scholes vận hành như thế nào:
Bối cảnh ví dụ
Tham số đầu vào:
- • S₀ = 100,000 VND (giá cổ phiếu hiện tại)
- • X = 105,000 VND (giá thực hiện)
- • T = 0.25 năm (còn 91 ngày đến đáo hạn)
- • r = 0.06 (lãi suất phi rủi ro 6%/năm)
- • σ = 0.30 (biến động 30%/năm)
Chứng quyền này đang:
Ngoài tiền (S₀ < X)
Chỉ có giá trị thời gian, không có giá trị nội tại
Bước 1: Tính d₁
d₁ = [ln(100,000/105,000) + (0.06 + 0.30²/2) × 0.25] / (0.30 × √0.25)
d₁ = [-0.0488 + (0.06 + 0.045) × 0.25] / (0.30 × 0.5)
d₁ = [-0.0488 + 0.02625] / 0.15
d₁ = -0.1503
Bước 2: Tính d₂
d₂ = d₁ − σ × √T
d₂ = -0.1503 − 0.30 × 0.5
d₂ = -0.3003
Bước 3: Tra N(d₁) và N(d₂)
Sử dụng bảng phân phối chuẩn tắc hoặc máy tính:
N(d₁) = N(-0.1503) = 0.4403 (xấp xỉ)
N(d₂) = N(-0.3003) = 0.3821 (xấp xỉ)
Các giá trị này cho thấy có khoảng 38.21% xác suất kết thúc ở trạng thái có lãi (in-the-money)
Bước 4: Tính hệ số chiết khấu về hiện tại
e⁻ʳᵀ = e^(-0.06 × 0.25) = e^(-0.015)
e⁻ʳᵀ = 0.9851
Bước 5: Tính giá chứng quyền
C = S₀ × N(d₁) − X × e⁻ʳᵀ × N(d₂)
C = 100,000 × 0.4403 − 105,000 × 0.9851 × 0.3821
C = 44,030 − 39,492
C = 4,538 VND
Diễn giải: Giá lý thuyết của chứng quyền này xấp xỉ 4,538 VND. Nếu giá thị trường cao hơn đáng kể, chứng quyền có thể đang bị định giá cao. Nếu thấp hơn, chứng quyền có thể bị định giá thấp (tuy nhiên, các yếu tố thị trường mà mô hình chưa phản ánh có thể giải thích phần chênh lệch).
Tính giá chứng quyền ngay lập tức
Việc tính toán thủ công có thể mất nhiều thời gian. Hãy tiết kiệm thời gian và giảm sai sót bằng cách sử dụng Công cụ tính giá trị lý thuyết của chúng tôi — công cụ sẽ tự động tính d₁, d₂, N(d₁), N(d₂) và giá chứng quyền cuối cùng theo mô hình Black-Scholes. Rất phù hợp khi bạn cần đánh giá nhanh nhiều mã chứng quyền.
Dùng công cụ ngayỨng dụng mô hình Black-Scholes trong thực tế
Dù việc hiểu công thức là quan trọng, khi áp dụng vào thực tế cần lưu ý một số điểm sau:
Giả định và hạn chế của mô hình
- Kiểu châu Âu vs. kiểu Mỹ: Mô hình giả định quyền được thực hiện theo kiểu châu Âu (chỉ tại ngày đáo hạn), trong khi nhiều chứng quyền có thể cho phép thực hiện trước hạn.
- Biến động không đổi: Mô hình giả định biến động là không đổi, trong khi thị trường thực tế có hiện tượng “cụm biến động” và thay đổi theo thời gian.
- Yếu tố thị trường: Giá chứng quyền thực tế còn chịu ảnh hưởng bởi cung–cầu, thanh khoản, rủi ro tín dụng của tổ chức phát hành và tâm lý thị trường.
Kết luận
Mô hình Black-Scholes cung cấp một khung tham chiếu hữu ích để hiểu cách định giá chứng quyền có bảo đảm và các yếu tố tác động đến giá trị chứng quyền. Dù còn những hạn chế nhất định, mô hình này vẫn là công cụ nền tảng mà các nhà đầu tư chuyên nghiệp sử dụng khi đánh giá cơ hội giao dịch chứng quyền. Khi nắm rõ tác động của giá tài sản cơ sở, giá thực hiện, thời gian đến đáo hạn, biến động và lãi suất lên giá chứng quyền, bạn sẽ có cơ sở tốt hơn để ra quyết định đầu tư và đánh giá mức độ “hợp lý” của giá chứng quyền trên thị trường.